ST-AUDIT-003 v1.0
ST-AUDIT-003｜完整归档快照
文档 ID：ST-AUDIT-003 · 版本：v1.0
研究层级
纯集合论／有向图论
本阶段状态
构造与通用定理核验完成
整体模型状态
NOT FROZEN
审计约束：通用定理成立不等于任何具体候选模型已经通过审计。禁止提前赋予时间、因果、演化、度量或物理解释。
- 全域约束
设
C ≠ ∅
E ⊆ C × C
- C：非空集合，不赋予元素内部结构、位置或物理意义。
- E：底层二元关系；不预设自反、对称、传递、有限、稀疏或几何邻近。
- “路径”“环”“可达性”仅按图论定义使用。
- “许可”仅作为标签，不解释为“能够发生”“跃迁”或“演化”。
- “局部”“稀疏”“邻域”“距离”“度量”“选择规则”“观察者”“物理时间”均不在本阶段加载。
- 基础定义
D1｜有限非空路径
给定整数 n ≥ 1。序列
x₀, x₁, ..., xₙ
称为一条 E-路径，如果
(x_{k−1}, x_k) ∈ E, k = 1, ..., n.
路径长度为 n；排除零长度（平凡自点）路径.
D2｜有向环
若一条有限非空 E-路径满足
x₀ = xₙ
则称该路径为有向环。特别地，如果
(x, x) ∈ E
则这是长度为一的有向环（自环）。
D3｜无环
称 (C, E) 无环，记作
(C, E) is acyclic
当且仅当不存在任何有向环。
D4｜正传递闭包
E⁺ = {
(x, y) ∈ C × C :
存在有限非空 E-路径自 x 至 y
}
- “正闭包”不自动包含恒等对 (x, x)；仅当存在闭合非空路径时，才会出现 (x, x) ∈ E⁺。
- “自反传递闭包” E*（包含全部恒等对）另行区分；本阶段不使用。
D5｜后继集
对任意 x ∈ C：
Out(x) = { y ∈ C : (x, y) ∈ E }
D6｜有限出度
称图满足有限出度，如果
For every x ∈ C, Out(x) is finite.
审计限制：
- 有限出度不等于整体边数有限。
- 有限出度不等于无环。
- 有限出度不等于几何局部。
- 如果以后要定义几何邻近，必须另行引入距离、邻域、度量或拓扑；本阶段禁止在无此类结构的前提下使用该语义。
D7｜诱导子图
给定 A ⊆ C，定义限制边集：
E_A = E ∩ (A × A)
对应的诱导子图是
(A, E_A)
- 已证通用定理
Theorem 1｜正传递闭包具有传递性
命题：对任意二元关系 E，其正传递闭包 E⁺ 必为传递关系。
证明：
设
(x, y) ∈ E⁺
(y, z) ∈ E⁺
由定义，存在有限非空路径
x → ... → y
y → ... → z
将两条路径在公共端点拼接，得到一条从 x 到 z 的有限非空路径；于是
(x, z) ∈ E⁺
证毕。
状态：已证，归档。
Theorem 2｜无环性等价于正传递闭包非自反
命题：
(C, E) is acyclic
⇔
E⁺ is irreflexive
证明：
- “⇒”：若 (C, E) 无环，则不存在从任意点回到自身的有限非空路径；因此对所有 x ∈ C，必有 (x, x) ∉ E⁺。
- “⇐”：若 E⁺ 非自反，则不存在任何有限非空路径满足起点等于终点；因此不存在有向环。
证毕。
状态：已证，归档。
Theorem 3｜无环性等价于正传递闭包为严格偏序
采用标准定义：严格偏序＝非自反性＋传递性。
命题：
(C, E) is acyclic
⇔
E⁺ is a strict partial order
证明：
- “⇒”：若 (C, E) 无环，则由 Theorem 2，E⁺ 非自反；由 Theorem 1，E⁺ 传递；故 E⁺ 是严格偏序。
- “⇐”：若 E⁺ 是严格偏序，则它必非自反；再由 Theorem 2，(C, E) 无环。
证毕。
状态：已证，归档。
关键隔离断言：底层边集 E 与导出关系 E⁺ 属于不同层级。不能因为 E⁺ 是严格偏序，就断言原始边集 E 本身传递或本身就是严格偏序。
Theorem 4｜诱导子图继承无环性
命题：若 (C, E) 无环，则对任意 A ⊆ C，诱导子图 (A, E_A) 也无环。
证明：假设诱导子图内存在环，则构成该环的每一条边都属于 E_A，从而也属于 E；于是原图必含环，矛盾。证毕。
状态：已证，归档。
继承方向单向成立：
(C, E) acyclic
⇒
(A, E_A) acyclic
反向一般不成立：诱导子图无环，不能保证原图无环，因为原图中的环可经由不属于 A 的节点闭合。
Theorem 5｜非空子集不保证内部有边
命题：
A ≠ ∅
does not imply
E_A ≠ ∅
反例：任取非空 A ⊆ C，并取
E = ∅
此时
E_A = E ∩ (A × A) = ∅
状态：已证否，归档。
- 反例库
Counterexample A｜无环但底层边不传递
C = {a, b, c}
E = {(a, b), (b, c)}
检查：
- (a, b) ∈ E
- (b, c) ∈ E
- (a, c) ∉ E
因此 E 不传递；但底层图无环。其正传递闭包为
E⁺ = {(a, b), (b, c), (a, c)}
该闭包非自反且传递，故为严格偏序。
判定：反例成立。原始边集不必传递；传递性是正传递闭包导出的性质。
Counterexample B｜含环导致闭包非自反失败
C = {a, b}
E = {(a, b), (b, a)}
存在闭合路径，于是
(a, a) ∈ E⁺
(b, b) ∈ E⁺
闭包包含自反对，非自反性失败，因此不能构成严格偏序。
判定：反例成立。只要底层图含有可被有限路径闭合的环，闭包就会被污染。
Counterexample C｜有限出度仍可含环
C = {a, b}
E = {(a, b), (b, a)}
Out(a) = {b}
Out(b) = {a}
两个后继集都是有限集，满足有限出度条件；但图含环。
判定：反例成立。有限出度仅约束每个节点的直接后继规模，不能替代无环检验。
- “局部／稀疏”审计缺口
本阶段不将“局部”或“稀疏”作为已启用公理；保留两个候选方案作为独立加载项。
Candidate L1｜有限出度
纯图论定义，不需要距离、坐标或几何结构。
- 优点：定义干净，仅使用集合与后继集。
- 限制：不能保证无环；不能保证全图边总数有限；不能保证几何邻近。
- 状态：候选条件，未激活。
Candidate L2｜几何局部
若以后要表达“仅在几何邻近范围内允许直接连接”，则必须至少另行引入：
- 距离或邻域结构；
- 邻近阈值或邻域判定条件；
- 组态空间上的度量或拓扑；
- “许可边仅在邻域内出现”作为独立约束。
在这些结构尚未定义之前，“近邻”“短程连接”“几何局部相互作用”都不是有效数学断言。
- 状态：隔离，延迟引入。
- 子集接口与相容性约束
保留接口：
C : 非空全集
E : 底层二元关系
A ⊆ C : 指定子集
E_A = E ∩ (A × A)
已冻结逻辑关系清单：
- 存在边 (x, y) ∈ E，不代表该边必须被选入某个指定子集。
- A ≠ ∅，不代表 E_A ≠ ∅。
- 如果原图无环，则诱导子图必无环。
- 如果诱导子图无环，不能推出原图无环。
- 如果诱导子图含有环，则原图必含环。
- 如果诱导子图非空且无环，它仍然可以只由孤立节点构成。
- 如果要断言诱导子图内存在非平凡路径，必须独立验证其中至少包含一条长度 ≥ 1 的路径。
所有这些断言都不依赖任何额外解释、选择机制或物理假设。
- 方向性隔离
如果 (C, E) 无环，则不可能同时有
(x, y) ∈ E⁺
(y, x) ∈ E⁺
若两者同时成立，则拼接两条路径将得到闭合路径，直接违反无环条件。
审计标记：
- 数学非对称性：已证；在无环假设下成立。
- 唯一优选方向：未建立。这个非对称性只是标签之间不可交换；它本身并不指定哪一方向应当作为原方向或优先方向。
- 原结构与其逆结构的区分：本阶段未处理。
- “方向选择规则”：如果以后要固定一个优选方向，必须作为独立公理或选择规则引入，并单独审计是否载入了额外约束。
- 度量隔离
本阶段仅处理集合与关系结构；不定义权重、路径长度、间隔、速率、数值测度或计量函数。
如果后续引入路径权重或计量映射，必须单独审计：
- 权重是否良定；
- 同一对节点经不同路径得到的累计值是否一致；
- 如果不同路径给出不同累计值，判定这是定义缺陷，还是允许的路径依赖；
- 如果目标是构造可重复的计量，是否必须引入特殊子系统、比较公理与跨系统相容性。
状态：度量结构未加载；严格隔离，禁止提前混入。
- 当前审计台账
审计项 判定 状态标记
组态集合 非空集合，无预设内部结构 已定义
底层关系 二元关系；不假设自反、传递、对称、有限或局部 已定义
有限非空路径 长度至少为一；排除零长度路径 已定义
有向环 起点＝终点，至少一步；包含自环 已定义
无环 不存在任何有向环 已定义
正传递闭包 有限非空路径可达对；区别于自反闭包 已定义
E⁺ 的传递性 必传递；由路径拼接证明 已证
无环 ⇔ E⁺ 非自反 双向等价成立 已证
无环 ⇔ E⁺ 为严格偏序 等价成立；由前述定理导出 已证
底层边自动传递 不成立；反例归档 已证否
含环时闭包仍为严格偏序 不成立；自反对在 E⁺ 中出现 已证否
有限出度保证无环 不成立；反例归档 已证否
几何局部性 需要额外度量／拓扑；当前未加载 隔离，延迟引入
诱导子图继承无环性 原图无环推出子图无环；反向不成立 已证
非空子集必有内部边 不成立；反例归档 已证否
数学非对称性（无环情形） 成立；双向可达互斥（不能同时属于 E⁺） 已证
唯一优选方向 未建立；需要独立选择约束 缺口保留
选择机制 尚未引入 未建立
度量、权重、钟读数 尚未引入 未加载，隔离
具体候选图族 尚未指定，尚未检验 待实例检验
整体模型通过判定 不作通过判定 NOT FROZEN
- 阶段结论
本阶段稳定归档的核心结果：
(C, E) acyclic
⇔ E⁺ irreflexive
⇔ E⁺ is a strict partial order
该结果构成一套独立的图论检验器：
- 如果底层图含环：闭包 E⁺ 必然包含自反对，候选序骨架直接失败。
- 如果底层图无环：其正传递闭包 E⁺ 自动是严格偏序。
- 底层边集 E 与导出闭包序 E⁺ 必须始终分开审计，不能用后者代替前者。
- “有限出度”只是可选的稀疏约束，不能作为无环保证。
- “数学单向区分”不等于 “唯一优选方向”。
- “有序骨架（E⁺）”不等于 “可计量结构”。
- “存在底层关系 E”不等于 “指定子集内部必然存在边”。
所有这些都是通用检验规则，不是某个具体模型的成功证明。任何后续给出的具体图族，都必须送入这套检验器，逐项核验底层环、出度条件、闭包性质以及所有隔离约束。
- 下一入口
下一阶段（实例审计）严格按顺序执行，禁止跳步：
- “启用候选条件”：选定并激活有限出度作为图族约束；保持纯图论，不加载几何局部。
- “成功样本构造”：构造一个满足有限出度且无环的具体图；列出全部节点、全部直接边；对每个节点核验后继集有限；扫描全部直接边与可闭合路径，确认无环。
- “闭包核验”：计算其正传递闭包 E⁺；核验传递性；核验非自反性；确认该闭包是严格偏序。
- “受控失败样本”：在同一家族内添加明确选定的边，构造出环；记录新增边、闭合路径位置以及出现的自反对（在 E⁺ 内）。
- “失败闭包核验”：重新计算失败样本的正传递闭包 E⁺；列出所有被引入的自反对；核验非自反性被破坏。
- “审计归档”：将通用定理、具体实例的核验结果、检验日志、通过项、失败项以及仍然未检验的独立约束分别登记；保持整体模型继续为 NOT FROZEN。
归档标记
ST-AUDIT-003 v1.0
通用图论结论：归档
具体图族：待实例检验
整体模型：NOT FROZEN